代数、几何、分析各自的范畴

1926年，诺特完成了理想(数)理论；1930年，毕尔霍夫建立格论， 它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系 统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克 建立了同调代数理论。 到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中 最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工 作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数 学中得到了充分的反映。 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。典型的代 数系统有群、环、域等，它们主要起源于19世纪的群论，包含有群 论、环论、伽罗华理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其 它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新 的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。 现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的 含义是在不断地拓广的。在初等代数中，字母表示数；而在高等代 数和抽象代数中，字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、 旋量、超复数等各种形式的量。可以说，代数已经发展成为一门关 于形式运算的一般学说了。 二、几何学范畴 1、初等几何 在希腊语中，“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的，本来 有测量土地的含义，意译就是“测地术”。“几何学”这个名词， 系我国明代数学家根据读音译出的，沿用至今。 现在的初等几何主要是指欧几里得几何，它是讨论图形(点、线、 面、角、圆等)在运动下的不变性质的科学。例如，欧氏几何中的两 点之间的距离，两条直线相交的交角大小，半径是r的某一圆的面积 等都是一些运动不变量。 初等几何作为一门课程来讲，安排在初等代数之后；然而在历史 上，几何学的发展曾优先于代数学，它主要被认为是古希腊人的贡 献。 几何学舍弃了物质所有的其它性质，只保留了空间形式和关系作为 自己研究的对象，因此它是抽象的。这种抽象决定了几何的思维方 法，就是必须用推理的方法，从一些结论导出另一些新结论。定理 是用演绎的方式来证明的，这种论证几何学的代表作，便是公元前 三世纪欧几里得的《原本》，它从定义与公理出发，演绎出各种几 何定理。 现在中学《平面三角》中关于三角函数的理论是15世纪才发展完善 起来的，但是它的一些最基本的概念，却早在古代研究直角三角形 时便己形成。因此，可把三角学划在初等几何这一标题下。 古代埃及、巴比伦、中国、希腊都研究过有关球面三角的知识。公 元前2世纪，希帕恰斯制作了弦表，可以说是三角的创始人。后来印 度人制作了正弦表；阿拉伯的阿尔·巴塔尼用计算sinθ值的方法来解 方程，他还与阿布尔·沃法共同导出了正切、余切、正割、余割的概 念；赖蒂库斯作了较精确的正弦表，并把三角......